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[理论概述] 线性代数的本质-笔记一

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本帖最后由 芒果Uki 于 2020-1-16 11:41 编辑

https://www.bilibili.com/video/av6731067<<<3Blue1Brown官方线性代数学习地址
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01(点和矢量)


是一个没有大小之分的空间中的位置。

矢量是一个有模和方向但没有位置的量,矢量也称向量。(矢量通常用于描述偏移量,因此它们可以用于描述相对位置)

(区分点和矢量之间不同是非常重要的,尽管它们在数学表达式是一样的,都是一串数字)

02(线性组合,张成空间和基底向量)

1-线性组合:i帽->单位x,j帽->单位y等,它们合起来被称为坐标系的基,“缩放向量并且相加”这一概念至关重要。每当我们用数字描述向量时,它都依赖于我们正在使用的基,两个数乘向量的和被称为这两个向量的线性组合。在二维空间中基向量就是i帽和j帽。
基.png
2-张成的空间:对大部分二维向量来说,它们张成的空间是所有二维向量的集合(无限大的平面),但当共线时,它们张成的空间就是终点落在一条直线上的向量的集合(一条直线)。

3-怎么描述第三个向量已经落在前两个向量张成的空间中或者两个向量恰好共线的情况:即一组向量中至少有一个是多余的,没有对张成空间做出任何贡献,你有多个向量,并且可以移除其中一个而不减小张成的空间,当这种情况发生时,我们称它们是“线性相关”的, 另一种表述方法是其中一个向量,可以表示为其他向量的线性组合,因为这个向量已经落在其他向量张成的空间之中。     另外一方面,如果所有向量都给张成的空间添加了新的维度,它们就被称为是“线性无关”的。

空间的一组基的严格定义是这样的:张成该空间的一个线性无关向量的集合。


03(矩阵与线性变换)

1-线性变换性质:如果一个变化具有以下两条性质,我们就称它是线性的:一是直线在变换后仍然保持为直线,不能有所弯曲,二是原点必须保持固定。

2-原始坐标向量=-1i帽+2j帽      变换后坐标向量=-1(变换后的i帽)+2(变换后的j帽)

线性-01.png
变换后的向量v位置是-1与变换后的i帽之积,加上2与变换后的j帽之积,换句话说,原始向量v是i帽和j帽的一个特定线性组合,那么变换后的向量v也是变换后i帽和j帽的同样的线性组合,这意味着,你可以只根据变换后的i帽和j帽,就判断出变换后的v。
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推论:这意味向量(x,y)变换之后的结果,将x乘以变换后的i帽加上y乘以变换后的j帽,这意味着只要记录下i帽和j帽变换后的位置,你就能计算出一个坐标为(x,y)的向量变换后的坐标。
02基.png
运用这个公式,给你任意一个向量,你都能知道它变换后的位置。)



>>>一个二维线性变换仅由四个数字完全确定,变换后i帽的两个坐标与变换后j帽的两个坐标,通常将这些坐标包装在一个2x2的格子中,称它为2x2矩阵,可以把它的列理解为两个特殊的向量,即变换后的i帽和j帽。

03基.png
定义成矩阵乘法:
04基础.png
《我们完全可以把矩阵的列看作变换后的基向量,把矩阵向量乘法看作它们的线性组合。》







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让我先假装自己看得懂,然后混进你们的圈子
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